7. 归并排序(Merge Sort)

基本思想:

归并(Merge)排序法是将两个(或两个以上)有序表合并成一个新的有序表,即把待排序序列分为若干个子序列,每个子序列是有序的。然后再把有序子序列合并为整体有序序列。

基本原理

通过对若干个有序结点序列的归并来实现排序。

所谓归并是指将若干个已排好序的部分合并成一个有序的部分。

归并排序示例:

将待排序序列R[0...n-1]看成是n个长度为1的有序序列,将相邻的有序表成对归并,得到n/2个长度为2的有序表;将这些有序序列再次归并,得到n/4个长度为4的有序序列;如此反复进行下去,最后得到一个长度为n的有序序列。

综上可知:

归并排序其实要做两件事:

(1)“分解”——将序列每次折半划分

(2)“合并”——将划分后的序列段两两合并后排序


我们先来考虑第二步,如何合并

在每次合并过程中,都是对两个有序的序列段进行合并,然后排序。

这两个有序序列段分别为R[low, mid]和R[mid+1, high]。

先将他们合并到一个局部的暂存数组R2中,带合并完成后再将R2复制回R中。

为了方便描述,我们称R[low, mid]第一段,R[mid+1, high]为第二段。

每次从两个段中取出一个记录进行关键字的比较,将较小者放入R2中。最后将各段中余下的部分直接复制到R2中。

经过这样的过程,R2已经是一个有序的序列,再将其复制回R中,一次合并排序就完成了。

核心代码

public void Merge(int[] array, int low, int mid, int high) {

    int i = low; // i是第一段序列的下标
    int j = mid + 1; // j是第二段序列的下标
    int k = 0; // k是临时存放合并序列的下标
    int[] array2 = new int[high - low + 1]; // array2是临时合并序列

    // 扫描第一段和第二段序列,直到有一个扫描结束
    while (i <= mid && j <= high) {

        // 判断第一段和第二段取出的数哪个更小,将其存入合并序列,并继续向下扫描
        if (array[i] <= array[j]) {
            array2[k] = array[i];
            i++; 
            k++;
        } else {
            array2[k] = array[j];
            j++;
            k++;
        }
    }

    // 若第一段序列还没扫描完,将其全部复制到合并序列
    while (i <= mid) {
        array2[k] = array[i];
        i++;
        k++;
    }

    // 若第二段序列还没扫描完,将其全部复制到合并序列
    while (j <= high) {
        array2[k] = array[j];
        j++;
        k++;
    }

    // 将合并序列复制到原始序列中
    for (k = 0, i = low; i <= high; i++, k++) {
        array[i] = array2[k];
    }
}

掌握了合并的方法,接下来,让我们来了解如何分解在某趟归并中,设各子表的长度为gap,则归并前R[0...n-1]中共有n/gap个有序的子表:R[0,...,gap-1], R[gap,...,2*gap-1], ... , R[(n/gap)*gap, ... n-1]。

调用Merge将相邻的子表归并时,必须对表的特殊情况进行特殊处理。

若子表个数为奇数,则最后一个子表无须和其他子表归并(即本趟处理轮空):若子表个数为偶数,则要注意到最后一对子表中后一个子表区间的上限为n-1。

核心代码

public void MergePass(int[] array, int gap, int length) {

    int i = 0;

    // 归并gap长度的两个相邻子表
    for (i = 0; i + 2 * gap - 1 < length; i = i + 2 * gap) {
        Merge(array, i, i + gap - 1, i + 2 * gap - 1);
    }

    // 余下两个子表,后者长度小于gap
    if (i + gap - 1 < length) {
        Merge(array, i, i + gap - 1, length - 1);
    }

}

public int[] sort(int[] list) {

    for (int gap = 1; gap < list.length; gap = 2 * gap) {

        MergePass(list, gap, list.length);
        System.out.print("gap = " + gap + ":\t");
        this.printAll(list);

    }
    return list;

}

int main(){  
    int a[10] = {3,1,5,7,2,4,9,6,10,8};  

    sort(a);  
}

算法分析

归并排序算法的性能

时间复杂度

归并排序的形式就是一棵二叉树,它需要遍历的次数就是二叉树的深度,而根据完全二叉树的可以得出它的时间复杂度是O(n*log2n)

空间复杂度

由前面的算法说明可知,算法处理过程中,需要一个大小为n的临时存储空间用以保存合并序列。

算法稳定性

在归并排序中,相等的元素的顺序不会改变,所以它是稳定的算法。

归并排序和堆排序、快速排序的比较

若从空间复杂度来考虑:首选堆排序,其次是快速排序,最后是归并排序。

若从稳定性来考虑,应选取归并排序,因为堆排序和快速排序都是不稳定的。

若从平均情况下的排序速度考虑,应该选择快速排序。