动态规划之背包问题

背包问题具体例子:假设现有容量10kg的背包,另外有3个物品,分别为a1,a2,a3。物品a1重量为3kg,价值为4;物品a2重量为4kg,价值为5;物品a3重量为5kg,价值为6。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大?

首先想到的,一般是穷举法,一个一个地试,对于数目小的例子适用,如果容量增大,物品增多,这种方法就无用武之地了。

其次,可以先把价值最大的物体放入,这已经是贪婪算法的雏形了。如果不添加某些特定条件,结果未必可行。

最后,就是动态规划的思路了。先将原始问题一般化,欲求背包能够获得的总价值,即欲求前i个物体放入容量为m(kg)背包的最大价值c[i][m]——使用一个数组来存储最大价值,当m取10,i取3时,即原始问题了。而前i个物体放入容量为m(kg)的背包,又可以转化成前(i-1)个物体放入背包的问题。下面使用数学表达式描述它们两者之间的具体关系。

表达式中各个符号的具体含义。

  •   w[i] : 第i个物体的重量;
  •   p[i] : 第i个物体的价值;
  •   c[i][m] : 前i个物体放入容量为m的背包的最大价值;
  •   c[i-1][m] : 前i-1个物体放入容量为m的背包的最大价值;
  •   c[i-1][m-w[i]] : 前i-1个物体放入容量为m-w[i]的背包的最大价值;

由此可得:

c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+pi , c[i-1][m]}(下图将给出更具体的解释)

根据上式,对物体个数及背包重量进行递推,列出一个表格(见下表),表格来自(

http://blog.csdn.net/fg2006/article/details/6766384?reload) ,当逐步推出表中每个值的大小,那个最大价值就求出来了。推导过程中,注意一点,最好逐行而非逐列开始推导,先从编号为1的那一行,推出所有c[1][m]的值,再推编号为2的那行c[2][m]的大小。这样便于理解。

思路厘清后,开始编程序,Java代码如下所示:

public class BackPack {
    public static void main(String[] args) {
        int m = 10;
        int n = 3;
        int w[] = {3, 4, 5};
        int p[] = {4, 5, 6};
        int c[][] = BackPack_Solution(m, n, w, p);
        for (int i = 1; i <=n; i++) {
            for (int j = 1; j <=m; j++) {
                System.out.print(c[i][j]+"\t");
                if(j==m){
                    System.out.println();
                }
            }
        }
        //printPack(c, w, m, n);

    }

 /**
     * @param m 表示背包的最大容量
     * @param n 表示商品个数
     * @param w 表示商品重量数组
     * @param p 表示商品价值数组
     */
    public static int[][] BackPack_Solution(int m, int n, int[] w, int[] p) {
        //c[i][v]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以获得的最大价值
        int c[][] = new int[n + 1][m + 1];
        for (int i = 0; i < n + 1; i++)
            c[i][0] = 0;
        for (int j = 0; j < m + 1; j++)
            c[0][j] = 0;

        for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
            for (int j = 1; j < m + 1; j++) {
                //当物品为i件重量为j时,如果第i件的重量(w[i-1])小于重量j时,c[i][j]为下列两种情况之一:
                //(1)物品i不放入背包中,所以c[i][j]为c[i-1][j]的值
                //(2)物品i放入背包中,则背包剩余重量为j-w[i-1],所以c[i][j]为c[i-1][j-w[i-1]]的值加上当前物品i的价值
                if (w[i - 1] <= j) {
                    if (c[i - 1][j] < (c[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1]))
                        c[i][j] = c[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1];
                    else
                        c[i][j] = c[i - 1][j];
                } else
                    c[i][j] = c[i - 1][j];
            }
        }
        return c;
    }

运行结果为:

0    4    4    4    4    4    4    4    4    
   0    4    5    5    5    9    9    9    9    
   0    4    5    6    6    9    10    11    11    

Process finished with exit code 0

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