动态规划之背包问题
背包问题具体例子：假设现有容量10kg的背包，另外有3个物品，分别为a1，a2，a3。物品a1重量为3kg，价值为4；物品a2重量为4kg，价值为5；物品a3重量为5kg，价值为6。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大？
首先想到的，一般是穷举法，一个一个地试，对于数目小的例子适用，如果容量增大，物品增多，这种方法就无用武之地了。
其次，可以先把价值最大的物体放入，这已经是贪婪算法的雏形了。如果不添加某些特定条件，结果未必可行。
最后，就是动态规划的思路了。先将原始问题一般化，欲求背包能够获得的总价值，即欲求前i个物体放入容量为m（kg）背包的最大价值c[i][m]——使用一个数组来存储最大价值，当m取10，i取3时，即原始问题了。而前i个物体放入容量为m（kg）的背包，又可以转化成前(i-1)个物体放入背包的问题。下面使用数学表达式描述它们两者之间的具体关系。
表达式中各个符号的具体含义。
- w[i] : 第i个物体的重量；
- p[i] : 第i个物体的价值；
- c[i][m] ： 前i个物体放入容量为m的背包的最大价值；
- c[i-1][m] ： 前i-1个物体放入容量为m的背包的最大价值；
- c[i-1][m-w[i]] ： 前i-1个物体放入容量为m-w[i]的背包的最大价值；
由此可得：
c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+pi , c[i-1][m]}（下图将给出更具体的解释）
根据上式，对物体个数及背包重量进行递推，列出一个表格（见下表），表格来自（
http://blog.csdn.net/fg2006/article/details/6766384?reload） ，当逐步推出表中每个值的大小，那个最大价值就求出来了。推导过程中，注意一点，最好逐行而非逐列开始推导，先从编号为1的那一行，推出所有c[1][m]的值，再推编号为2的那行c[2][m]的大小。这样便于理解。
思路厘清后，开始编程序，Java代码如下所示:
public class BackPack {
public static void main(String[] args) {
int m = 10;
int n = 3;
int w[] = {3, 4, 5};
int p[] = {4, 5, 6};
int c[][] = BackPack_Solution(m, n, w, p);
for (int i = 1; i <=n; i++) {
for (int j = 1; j <=m; j++) {
System.out.print(c[i][j]+"\t");
if(j==m){
System.out.println();
}
}
}
//printPack(c, w, m, n);
}
/**
* @param m 表示背包的最大容量
* @param n 表示商品个数
* @param w 表示商品重量数组
* @param p 表示商品价值数组
*/
public static int[][] BackPack_Solution(int m, int n, int[] w, int[] p) {
//c[i][v]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以获得的最大价值
int c[][] = new int[n + 1][m + 1];
for (int i = 0; i < n + 1; i++)
c[i][0] = 0;
for (int j = 0; j < m + 1; j++)
c[0][j] = 0;
for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
for (int j = 1; j < m + 1; j++) {
//当物品为i件重量为j时，如果第i件的重量(w[i-1])小于重量j时，c[i][j]为下列两种情况之一：
//(1)物品i不放入背包中，所以c[i][j]为c[i-1][j]的值
//(2)物品i放入背包中，则背包剩余重量为j-w[i-1],所以c[i][j]为c[i-1][j-w[i-1]]的值加上当前物品i的价值
if (w[i - 1] <= j) {
if (c[i - 1][j] < (c[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1]))
c[i][j] = c[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1];
else
c[i][j] = c[i - 1][j];
} else
c[i][j] = c[i - 1][j];
}
}
return c;
}
运行结果为：
0 4 4 4 4 4 4 4 4 0 4 5 5 5 9 9 9 9 0 4 5 6 6 9 10 11 11 Process finished with exit code 0