4. 选择排序—堆排序（Heap Sort）
堆排序是一种树形选择排序，是对直接选择排序的有效改进。
基本思想：
堆的定义如下：具有n个元素的序列（k1,k2,...,kn),当且仅当满足
（最小化堆或小顶堆） 或 （最大化堆或大顶堆）
称之为堆。由堆的定义可以看出，堆顶元素（即第一个元素）必为最小项（小顶堆）。
若以一维数组存储一个堆，则堆对应一棵完全二叉树，且所有非叶结点的值均不大于(或不小于)其子女的值，根结点（堆顶元素）的值是最小(或最大)的。如：
(a) 大顶堆序列：（96, 83,27,38,11,09)
(b) 小顶堆序列：（12，36，24，85，47，30，53，91）
构造初始堆（建堆方法）
建堆方法：初始化堆的时候是对所有的非叶子结点进行筛选。最后一个非终端元素的下标是[n/2]向下取整，所以筛选只需要从第[n/2]向下取整个元素开始，从后往前进行调整。
如图建堆初始过程：无序序列：（49，38，65，97，76，13，27，49）
堆排序的实现
有了初始堆之后就可以进行排序了。堆排序是一种选择排序。建立的初始堆为初始的无序区。
初始时把要排序的 n 个数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树（一维数组存储二叉树），调整它们的存储序，使之成为一个堆，将堆顶元素输出，得到 n 个元素中最小(或最大)的元素，这时堆的根节点的数最小（或者最大）。
然后对前面(n-1)个元素重新调整使之成为堆，输出堆顶元素，得到n 个元素中次小(或次大)的元素。
依此类推，直到只有两个节点的堆，并对它们作交换，最后得到有n个节点的有序序列。称这个过程为堆排序。
因此，实现堆排序需解决两个问题：
如何将n 个待排序的数建成堆；
输出堆顶元素后，怎样调整剩余n-1 个元素，使其成为一个新堆。
首先讨论第二个问题：输出堆顶元素后，对剩余n-1元素重新建成堆的调整过程。
进行堆排序
调整小顶堆的方法：
1）设有m 个元素的堆，输出堆顶元素后，剩下m-1 个元素。将堆底元素送入堆顶（最后一个元素与堆顶进行交换），堆被破坏，其原因仅是根结点不满足堆的性质。
2）将根结点与左、右子树中较小元素的进行交换。
3）若与左子树交换：如果左子树堆被破坏，即左子树的根结点不满足堆的性质，则重复方法 （2）.
4）若与右子树交换，如果右子树堆被破坏，即右子树的根结点不满足堆的性质。则重复方法 （2）.
5）继续对不满足堆性质的子树进行上述交换操作，直到叶子结点，堆被建成。
称这个自根结点到叶子结点的调整过程为筛选。如图：
再讨论对n 个元素初始建堆的过程。
算法的实现：
从算法描述来看，堆排序需要两个过程，
一是 建立堆;
二是 堆顶与堆的最后一个元素交换位置。所以堆排序有两个函数组成。一是建堆的渗透函数，二是反复调用渗透函数实现排序的函数。
void print(int a[], int n) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
cout << a[j] << " ";
}
cout << endl;
}
/**
* 已知H[s…m]除了H[s] 外均满足堆的定义
* 调整H[s],使其成为大顶堆.即将对第s个结点为根的子树筛选,
*
* @param H是待调整的堆数组
* @param s是待调整的数组元素的位置
* @param length是数组的长度
*
*/
void HeapAdjust(int H[], int s, int length) {
int tmp = H[s];
int child = 2 * s + 1; //左孩子结点的位置。(i+1 为当前调整结点的右孩子结点的位置)
while (child < length) {
if (child + 1 < length && H[child] < H[child + 1]) { // 如果右孩子大于左孩子(找到比当前待调整结点大的孩子结点)
++child;
}
if (H[s] < H[child]) { // 如果较大的子结点大于父结点
H[s] = H[child]; // 那么把较大的子结点往上移动，替换它的父结点
s = child; // 重新设置s ,即待调整的下一个结点的位置
child = 2 * s + 1;
} else { // 如果当前待调整结点大于它的左右孩子，则不需要调整，直接退出
break;
}
H[s] = tmp; // 当前待调整的结点放到比其大的孩子结点位置上
}
print(H, length);
}
/**
* 初始堆进行调整
* 将H[0..length-1]建成堆
* 调整完之后第一个元素是序列的最小的元素
*/
void BuildingHeap(int H[], int length) {
//最后一个有孩子的节点的位置 i = (length -1) / 2
for (int i = (length - 1) / 2; i >= 0; --i) HeapAdjust(H, i, length);
}
/**
* 堆排序算法
*/
void HeapSort(int H[], int length) {
//初始堆
BuildingHeap(H, length);
//从最后一个元素开始对序列进行调整
for (int i = length - 1; i > 0; --i) {
//交换堆顶元素H[0]和堆中最后一个元素
int temp = H[i];
H[i] = H[0];
H[0] = temp;
//每次交换堆顶元素和堆中最后一个元素之后，都要对堆进行调整
HeapAdjust(H, 0, i);
}
}
int main() {
int H[10] = {3,1,5,7,2,4,9,6,10,8};
cout << "初始值：";
print(H, 10);
HeapSort(H, 10);
//selectSort(a, 8);
cout << "结果：";
print(H, 10);
}
分析:
设树深度为k，
。从根到叶的筛选，元素比较次数至多2(k-1)次，交换记录至多k 次。所以，在建好堆后，排序过程中的筛选次数不超过下式：
而建堆时的比较次数不超过4n 次，因此堆排序最坏情况下，时间复杂度也为：O(nlogn )。